Интеграл [integral]. Есть два различных понятия - неопределенный И. и определенный И.
Говорят, что функция f(x) имеет неопределенный И. ∫f(x)dx, если существует такая функция F(x), что ее производная dF(x)/dx равна исходной функции f(x). Функция F(x) называется первообразной функции f(x) и определена с точностью до постоянной величины C. По определению считают, что
∫f(x)dx = F(x) + C.
Рассмотрим теперь определенный И. Предположим, что функция f(x) задана на интервале [a, b]. Составим следующую сумму (ее часто называют интегральной):
причем точки xi разбивают интервал [a, b] на отрезки меньшей длины, а точка yi лежит в отрезке [xi-xi-1]. Теперь будем увеличивать число точек так, что длина самого большого отрезка [xi-xi-1] устремится к нулю. Тогда если существует предел интегральной суммы, то он называется интегралом f(x) на отрезке [a, b] и обозначается:
Такой И. носит название интеграла Римана и в экономико-математических исследованиях применяется чаще всего. Есть и другие виды И., существующие для более широких классов функций.
Определенный и неопределенный И. связаны тем, что если существует первообразная F(x) функции f(x), то
