Приглашаем посетить сайт
Логические операции
Логические операции [logical operations]. С какой-то степенью точности можно сказать, что математическая логика занимается изучением правил вывода определенных положений без конкретизации самих этих положений (безотносительно к их содержанию), примерно так, как геометрия связана с наукой о пространстве.
Одно из основных понятий математической логики - высказывание. Не стремясь к излишней математической строгости, можно сказать, что высказывание - это выражение, относительно которого можно сделать вывод o его истинности или ложности. Например, «Ах!» - это не высказывание, а выражение - «Иван Иванович Иванов ~ телевизор» - высказывание, так как можно утверждать - оно ложно.
Знак ~ заменяет здесь слово «эквивалент» и связывает два имени: «Иван Иванович Иванов» и «телевизор». Каждое из этих имен высказыванием не является, тогда как все выражение - высказывание.
Над высказываниями можно производить определенные операции. Например, если заданы два высказывания, обозначенные логическими переменными A и B, то можно составить новое высказывание: «A и B». При этом связка «и» заменяется символом˄; тогда запишем «A ˄ B». Можно также составить выражение «A или B». Связка «или» обозначается с помощью символа ˅ . Можно представить себе высказывание «из A следует B»: «A => B». Наконец, можно составить отрицание данного высказывания: «не A». Для операции отрицания используют целый ряд обозначений.
!,ך,˄,˜
Например: ך А , ~А, Ᾱ.
Придадим каждому из высказываний определенное значение истинности. Например, «А» = И, а «В» = Л, т.е. «А - истинно», а «В - ложно», тогда можно рассмотреть истинность перечисленных выше высказываний.
Начнем с самого простого - с отрицания: если А - истинно, то «не А - ложно». Наоборот, если «А - ложно», то Ᾱ- истинно. Эти очевидные факты могут быть представлены в виде таблицы:
Отрицание
| А | Ᾱ |
| И | Л |
| Л | И |
Аналогично можно рассмотреть и другие операции:
| Конъюнкция
( «И» ) А В А ˄ В |
Дизъюнкция
(«ИЛИ») А В А ˅ В |
||||
| И
И Л Л |
И
Л И Л |
И
Л Л Л |
И
И Л Л |
И
Л И Л |
И
И И Л |
| Импликация
(«если…то») А В А => В |
Эквивалентность
(«равносильно») А В А <=> В |
||||
| И
И Л Л |
И
Л И Л |
И
Л И И |
И
И Л Л |
И
Л И Л |
И
Л Л И |
Можно рассмотреть еще одну Л.о. - «А тогда, и только тогда, когда В». Ее можно записать:
(А <=> В) ≡ (А => В) ˄ (В => А)
Рассмотренная выше логика допускает только два значения истинности для высказывания - истинно и ложно, причем высказывание не может быть истинным и ложным одновременно. Поэтому она называется логикой с исключенным третьим.
Важную аналогию можно установить, заменив условное обозначение «И» на единицу, а «Л» на нуль. Тогда окажется, что логика аналогична системе действий над двоичными числами, на основе которой работают все компьютеры.